Matematik sadece özenle geliştirilmiş bilimsel bir
teori olmayıp, aynı zamanda modern bilimin de temeli olmuştur. Bilimde bir
teorinin gerçekten bilimsel olmasını belirleyen ölçütlerden biri matematik
kullanımıdır. Matematiğin soyutluğu bir çok insanı korkutur ve uzaklaştırır.
İşin ilginci soyut oluş, insanlar tarafından gözlenip aşıklamada zorluk cekişte
bir numaralı kurtarıcıdır. B.Russell “Matematik sadece doğruyu söylemekle
kalmaz aynı zamanda onun güzelliğini de ortaya çıkartır” der [1]. Matematikteki
ahenk veya düzen kimi zaman bazı filozoflara, bilim adamlarına bir resmin renk
ahengini, bir müziğin duruluğunu anımsatır. Kimisi bunun karşısında
hayranlığını, sevinç ve heyecanını gizleyemez. Her ne kadar başlangıçta
matematik doğayı ve insanları ilgilendiren problemlerin çözümü olsa da,
matematikçiler matematiği bu alanından alıp, bilinçlerinde oluşan problemlere
kavramsal çözümler düşünsel eylemine dönüştürürler. Örneğin Geometri, ilk önce
alan hesaplanması ve astronomik çalışmalardaki yıldızların yeri ve
hareketlerinin gozlenmesi ile başlamıştır. Olasılık kumar oyunlarında kazanma
hırsına kesinliğin nasıl maledileceği ile başlamıştır. Ama bugün bu dallara
baktığımızda başlangıçta yarattığımız bu disiplinlerin artık kontrolümüzden
çıkıp kendi içinde kendi problemlerini yaratıp onların soyut çözümleri ile
uğraştığını görürüz. Bilim içinde üretilmiş problemlerin toplum ve doğadaki
problemlerin çözümü ile ilgili olabileceği gibi, hiç bir ilgisi de olmaya bilir
demek ki. Onun öz kaynaklarından biri belki de temeli, matematiğin bilim
adamına verdiği haz duygusunun ölçütünün olmamasıdır.
Tarih içinde bilimlere bakıldığında, soyut matematikte
bir konu ortaya çıktıktan sonra, zaman içinde bunun başka bir bilim dalında
uygulandığına tanık oluyoruz. Veya matematikteki bir problem fiziksel bir olayı
açıklamakla ortaya çıksa bile bu problem başka bilim dallarında farklı olayları
açıklamak için de kullanılır. Örneğin olasılık artik kumarbazların ihtiyaçlarından
çok fizikçi ve matematikçilerin işini görür.
Bir çok bilim dalı, matematiğin dilini kullanır. Ama
bu dil bizim bildiğimiz diğer dillerden elbet çok farklıdır, daha sınırlı ve
daha katıdır.
Diğer bilimler ile matematik arasındaki temel farklılıklar
düşünce sistemlerinde ve ispat-açıklama yöntemlerindedir. Birincisinde olgusal
içerik bulunur, yani gözlemin sonucundaki açıklama yeterli olur. Matematiksel
düşüncede ise kavramsallık vardır, yani “gözlenen olayı olgusal açıklama yerine
ilişkileri teorem olarak ispatlama” [2]. Matematiksel oluşta açıklık ve
kesinlik vardır. Doğruluk şüphe götürmez kuru gerçektir. İspat yapılmadığı
sürece genelleme yapılmaz. “Her çift sayı iki asal sayının toplamı olarak
yazılabilir” hipotezini çürütür tek bir örnek bulunamamış olunsa bile bu yönde
bir genelleme yapılmaz. Matematikçiler kanıt toplamaktan çok ispata yönelirler.
Gelişim kaynakları, yaratıcı imge ve sezgilerini,
mantıksal yapısını gelecekteki yazılarımda daha ayrıntılı vereceğim
matematikselliğin öznel düşünce etkinliklerindeki farklı yaklaşımlarının doğal
kaynağı MATEMATİK FELSEFESİ’ni aşağıda ana temaları ile sunmaya çalışacağım.
MATEMATİK FELSEFESİNE GİRİŞ
Matematik felsefesi denildiğinde konu bir çoğunuza
belki soğuk ya da anlamsız geliyordur. Oysa konu büyüleyici ve çekici. Bu
yazının hedefi bazı okuyucuları büyülemekten çok, çekiciliğin etki alanına
insanları toparlayıp neden sonuç ilişkilerinde bilginin kaynağını ve
matematiğin temelini sorgulama biçimleri üzerinde birlikte düşünmek.
Soyut matematik daima rasyonel düşüncenin
doruğundadır. Matematiksel sonuçlar sayılar teorisinden geometrik şekillere,
küme teorisinden fonksiyonel analizin karmaşık yapısına kadar doğruluğun
bükülmez en sert örneklerini oluştururlar. Kimi zaman kavramlar çok basit ve
sadedir, ama yine de her insan beyni bu doğrulukla barışık değildir. Benim
kaygım ya da tasam barışı sağlamak, bağnazlığı bozguna uğratmak. Kaygım düşün
ufuklarımızı ÖZGÜR kıldırmanın yöntem ve biçimlerini sorgulamamız üzerine.
Matematik entellektüel yaşantımızın içine girdi mi,
modern, ileriye dönük değişimlere açık bir toplumun şekillenmesinde en temel
görevi üstlenir. Amacım elbet matematiği bir yana, bilimi bir yana koymak
değil, bunu yaptığımızda anarşi ve terör girer günlük yaşama. Bilimi anlamak da
mümkün olmaz. Rasyonel düşüncede matematik ve bilim birlikte üretkendirler. Bir
köprünün inşasından tutun da, internet bağlantılarına kadar yaşamın her yerinde
esrarengiz güçlerini birlikte sergilerler. Yaşamda matematiğin değerini
sorguladığınızda karşınızda matematik felsefesini bulursunuz. Sonlu insanın
sonsuzluk ile nasıl oynadığını, matematiği nasıl yarattığını düşündükçe
karşımıza yine matematik felsefesi çıkar.
Bütün tutarlılığı içinde matematiğin degişik bir
niteliği vardır ve bu nitelik oldukça zorludur. Bizi baştan çıkaran
matematikteki kesinlik, objektiflik, matematiksel düzendeki sonuçların estetik
zihinsel güzelliğidir. İnsanoğlunun bu gerçek ile nasıl bir bağlantı kurduğunu
kolaya kaçmadan açıklamamız gerekiyor. Başka bir deyiş ile biçimsel ya da
tanımsal semboller ile oynanması, matematiğin bakış açısına ve platonik
dünyasına kendimizi tam anlamı ile vermemizi gerektirir. Bu işi uzun yıllar
önce temelciler çok iyi yaptılar. Matematiğin nasıl yaratıldığını ince ince
çözümlemeye ve sonra dokumaya uğraştılar.
Matematik felsefesindeki temel sorunlardan biri
geleneksel yapımcı düşüncenin kavramları ile realistik matematiksel kavramlar
arasındaki temel ayrılıktır.
Realizm matematiksel kavramlardan bağımsız bir
matematiksel evrenin gerçekliğini kabul eder. Başka bir deyiş ile “realizm: dış
dünyanın algı veya bilgimizden bağımsız var olduğu savını”[2] kabul eder. Başka
bir felsefi görüş olan yapımcılık (“Belli ilkel nesneler (örneğin doğal
sayılar) kullanılarak sonlu adımda inşa edilebilen matematiksel nesneleri
yanlızca var veya anlamlı sayan öğreti” [2] ) ise her hangi bir matematiksel
gerçeğin, matematikçiler tarafından potansiyel bir yapıya uygun hale getirilmiş
olduğunu söyler. İki görüşün de kabul edilebilir yanları olmakla birlikte kendi
içlerinde karşılaştıkları ciddi problemleri vardır.
Bugün matematik felsefesi artık felsefe içinde kendi
başına bir dal haline gelmiştir. Varlık bilimi ve metafizik gözönüne
alındığında bu felsefe dalının doğal gerçeğin özü ile, temel ile ilgili olduğu
anlaşılır. Bu konuda tipik bir soru şöyledir: Soyut nesneler var mıdır? Benzer
bir soru da şu olabilir: Uzayda var olan bütün nesneler soyut mudur? Var olan
somut parçacıkların tümü gerçekten yer-zaman ilintisi içinde mi mevcuttur?
Şimdi bu sorulara yanıtlar ne olabilir? Eğer realist görüş matematiğe doğru
bakıyorsa, evet soyut nesneler denilen MATEMATİKSEL NESNELER vardır. Yok yanlış
ise o zaman bütün nesneler zamana aittir, yani dünyevidir, bu da olsa olsa
yapımcı görüşün yanıtı olabilir.
Matematiksel konuşmada anlam ve gerçeğin analizi
esastır. Çekiciliğin ve esrarengizliğin perdesi böyle aralanır. Perdeyi
aralayanlar farklı yöntemlere başvururlar. Bilim felsefesi gözönüne
alındığında, eğer yapımcılığın verdiği yanıt doğru olsaydı o zaman iyi bir
bilgi kuramı anlaksal bir iç eylem olarak matematik için bir açıklama
oluştururdu. Diğer yandan eğer realizm bir bilgi felsefesi tarafından
uzlaştırılırsa onun matematiksel sezginin özel bir yeteneği ile ya da
matematiksel dünyanın algısı ile bir bilgi sağlaması gerekirdi. Realizm,
matematiğin bir açıklaması olarak, matematiksel dillerin kuramsal bir model
olarak yorumlanmasını düzenler ve genelde anlambilim kuramını geliştirir.
Matematikteki yapımcılık, anlamları açıklamada daha hesapçıldır; anlambilimi
geliştirirken bir yandan da doğabilim ve dilbilim ile bağlantılar kurar.
Matematik felsefesi, matematiğe getirilen felsefi
açıklama, Platon ve Pyhtagoras’ların döneminden bugüne kadar gelmiş olup
felsefe içinde önemli bir yere sahiptir. Matematik felsefesi kusursuz bir
disiplin olmakla birlikte müthiş bir değiştirme gücüne de sahiptir. Kuhn’a göre
bu değiştirme gücü “devrimcidir, köktendir, yeni bir olgunun yaratılışıdır”.
19. yüzyıl sonlarında matematik felsefesinin temel sorusu ‘Matematiğin temeli
nedir?’ şeklindeydi. Bu soruyu cevaplamak üzere geliştirilen düşün disiplinleri
çağ içinde köklü değişimlere neden olurlar. Cevapların birinde temeller
matematiksel mantık disiplini ile açıklanır. Bu görüş Cantor’un sonsuzlar
analizinde, Frege’nin sayılar analizinde, Russel ve Whilehead’ın büyük eserleri
Principia Mathematica’da netleşir. Matematik felsefesi temellerin
sorgulanmasıdır. Zira birbiri ile çatışan kuramlara değer biçme, rekabetler
arasında hüküm verme felsefenin işlerinden biridir. O dönemde bu hükmün aracı
mantıktır.
Diğer yandan son tartışmalarda matematiğe temelci
yaklaşımlardaki yetersizlikler vurgulanır. Matematiksel kuramların yapısında
güçlü bir sınırlama olduğu ileri sürülür. Eğer yüzyıl önceki durum ile
kıyaslanırsa doğru temellere çok yakınlaşmış olduğumuz söylenemez. Aynı temel
tartışma ve itirazlar hala üst düzeyde sürdürülmekteler. Bununla birlikte yakın
zamanın analizlerinde, temelciliğin aşikar sayılan anahtar varsayımlarının
bugün hiç de öyle olmadığı ileri sürülmektedir. Ancak temeller üzerine yapılan
tartışmalar ilk heyecanını ve gücünü yitirmiş görünüyor. Tartışmalar matematik
felsefesinin gündelik kavramlarından uzaklaşıyor, el değmemiş bölgede tek
başına haykıran sesin etki alanındaki tartışmanın değeri vurgulanıyor. Zaman temelcilerden
sonra gelenlerindir şimdi. Matematik felsefesi ancak matematikçiler ve onun
kullanıcılarının üzerinde yoğunlaştıkları konuları yeniden sorgulamaya
başladıkları zaman yeniden canlanacaktır. Eğer matematiğe önyargısız bakarsak,
sınırlılığın zincirlerini kırabiliriz. Temelciler tarafından ihmal edilen
biçimsel olmayan ispatlar, tarihsel gelişim, matematiksel hataların
olabilirliliği, matematikçiler arasındaki iletişim, matematiksel yorum ve
açiklamalar, modern matematik de bilgisayarların kullanımı vb. birçok
nitelikler çıkarımlarda temel etken olur. Temelciler asıl pratiği temel
aldıkları için biçimsel ispatların sağlanmasında, kümeler hakkındaki keşiflerde
ve diğer temel kavramlarda matematiksel etkinliği esas tutmuş, geri kalan
herşeyi üst yapı olarak yorumlamışlardır.
Matematik felsefesinde tartışmaların odak noktasını
oluşturan temelcilik üzerinde bilim adamları ve matematikçiler yaklaşık yüz yıl
harcadılar. Öyle ki Matematiksel Mantık üzerindeki tartışmalarda da temel dört
mantık okulu ortaya çıkmıştır.
1) Platoncular (Realistler – Gerçekçiler)
2) Mantıkçılar – Temelciler
3) Biçimciler – Tanımcılar (Formalistler)
4) Sezgiciler – İnşacılar – Yapımcılar
Doğrusu bu okullararası kavgalar oldukça değerlidir.
Ama uzun süren tartışmalar bir döngüye tıkanıp kalınca, kimi düşün insanları
bunun dışına çıkmaya yöneldiler. Lakatos’tan oldukça etkilenen R.Hersh bunu
açık açık dile getirir; “Bilim adamları hala 20. yüzyılın ilk döneminde
başlayan büyük temel tartışmaların etkisinden kurtulamadı gitti. Mantık
okulları matematiksel çalışmalarda gerekli izi bırakmıştır. Fakat felsefi
programlar için, matematiksel kuramlar için sağlam bir temel kurma
girişimlerinin hepsi kendi yollarında koştular ve artık tükendiler, daha
doğrusu pilleri bitti. Buna rağmen hala tam tanımlanmamış açık olan yanları
var. İlginçliği ve önemi kalmamış temeller üzerine bir calışma bulduğumda
felsefe ile kesinlikle ilgilenmiyorum. O yüzden de kendimi, matematiksel
belirlilik-kesinlik ile doğa hakkındaki belirsizliklerimin yüzleşme olasılığını
ortadan kaldırarak, onlardan mahrum ediyorum.” [3]
H.Putnam ise temelci tartışmalara karşı çıkarken, yeni
ürkek seslere dikkat çeker; “Çok az ürkek ama cesaretli bir iki ses temellere
karşı çıkıyor ve buna ihtiyaç olmadığını söylüyor. Ve ben dikkatlerinizi bu
ürkek seslere çekmek istiyorum. Matematiğin belirsizlik, temellerin de bir kriz
içine düştüğünü sanmıyorum. Aslına bakarsanız matematiğin temellerinin olduğuna
ya da ona ihtiyaç olduğuna inanmıyorum. Kuşkusuz çeşitli sistem yapımcılarının
düşüncesi bana içsel problemlermiş gibi geliyor. Bu sistemler entellektüellik
gibi ilginçtir. Sistemler üzerine yapılan araştırma ve tartışmalar kuşkusuz
devam edecektir, etmelidir de. Ama ben sizi matematik felsefesinin değişik
sistemlerine inandırmak istiyorum (bunu hiç süphem yok beceremeyeceğim ama yine
de deneyeceğim).” [4]
Felsefeciler temelci düşünceye pek düşkündürler:
‘Bilginin temeli’, ‘Fiziğin temeli’, ‘Matematiğin temeli’ gibi. Temeller
hakkındaki sıradan bir spekülasyon kuşkusuz akla uygunluğun yaratıcı
sürecindeki bir disiplin tarafından dikkate alınmaz. Eğer bir disiplin kriz
yaşıyorsa, o zaman felsefi spekülasyon özünde kuvvetlendiricidir. Ondokuzuncu
yüzyıl matematikçileri böylesi bir krizi yaşarlar. Dönemin düşünürleri
Euclidian olmayan geometriyi özümlemeye, geometriyi analiz ve aritmetikten
ayırmaya, kalkülüsü belirli bir temele oturtmaya, sonsuzluğu özümlemeye,
kümelerin genel yapısını keşfetmeye ve paradokslardan uzak durmaya calışırlar.
Bu çalışmalardan elde edilen bilgi birikimi, gelişimler ve etkileşimler
zengindir. Hantal olan bilgilerden arınma, karmaşıklığı basitleştirme
girişimleri, bulunan sonuçların temel kavram ya da ilkelere indirgenmesi,
onlara açıklık kazandırılması bugünün kuşağına devredilen en büyük mirastır.
Matematiksel kavram ve ilkelere ulaşım yorucudur, kimi zaman insan bocalar,
sonuca ulaşamamanın bunalımını yaşar, ama zorlu ve bilinçli çalışma kişiyi
bilinç altında meşgul eden ilkeyi sonunda gün ışığına, bilinç düzeyine
ulaştırır. Böylesi bir değişim döneminin ürünü Gottlob Frege temelciliğin en
büyük mimarlarından biridir. Ölümünden sonra büyüklüğü anlaşılan gelmiş geçmiş
büyük matematikçilerden biri olan Frege’nin temel eserleri şunlardır:
1) Begriffsschriff (1879) – Formüllerin dili ve
aritmetik modelleri
2) Die Grundlogen der Arithmetik (1884) – Matematiksel
mantık ve sayılar üzerine temel kavramlar
3) Grundgesetze der Arithmetik,I, II (1893) –
Aritmetiğin temel kuralları
Değişken, Küme, Bağıntı, Fonksiyon ve Nicelikler gibi
kavramlara mantıksal açıklık getiren Frege, onları aksiyomatik bir yapı içine
oturtur. Değişkenlere tanımsız sayıların isimi gibi bakılıp, sonsuzluk fikri
sonsuzluk sembolüne tıkanıp kalmış ve elemanı sembolü ile kapsam sembolü
karıştırılır iken o bunlara kesinlik getirmiştir. Fregenin ölümünden sonra
taraftarları (öğrencileri) ve ondan etkilenmiş olan matematikçiler,
mantıkçılar, felsefeciler çok olmuştur. Çalışmaları Cantor, Dedekind, Zermelo,
Peano, Russel ve Hilbert tarafından tamamlanmıştır. Matematiksel mantık
disiplini ileriye götürülür. Temelci yaklaşımlar doğrudan matematiksel
deneyleri etkiler, temellere teorik felsefi bir tanim kazandırılır. Frege’nin
çalışmaları bir çok bilim adamını büyülerken o zamanlar genç bir öğrenci olan
B.Russel, o güne kadar kimsenin bir araya basit sade bir dil ile getiremediği
Fregen’nin temeller üzerine çalışmasını basıma hazırlandığı bir dönemde, kibar
ve ince bir dille Frege’nin kurduğu sistemin geçersiz olduğunu yazar. Frege’nin
mantıksal sonuç ve gerçek kavramlar üzerine sorgusu ile başlayan tartışma B.
Russel ile daha üst bir boyuta sıçrar. Temeller üzerine gelişen bu
tartışmalarda temelciler kendi içlerinde de farklı farklı düşünmeye başlar ama
ortak görüş matematiğin mantıkla özdeş olduğudur.
Cantor matematiğin özünde zengin bir özgürlüğün olduğunun
altını çizer. Onun vurguladığı bu özgürlük inşa etme, varsayımlar oluşturma
özgürlüğüdür. Formalizm bu görüşe ayrı bir yaklaşım daha getirir; matematiğin
insan zekası ürünü olduğu ve matematiksel nesnelerin sanal nitelikleri olduğunu
ileri sürer. Platoncular ise matematiğin bizden bağımsızlığını varsayar ve
kendine has yasaları olduğunu söylerler. Sezgiciler matematiğin insan zekası
ürünü olduğu iddiası ile Platonculara karşı çıkarlar. Onlara göre
ispatlanamayan bir şey doğru değildir.
Matematiksel gerçeklik ve düşünme yapısı
incelendiğinde, matematiksel nesnelerin gizemli özellikleri ve bunların büyük
zeka uğraşıları sonucunda ispatı göz önüne alındığında MATEMATİĞİN BİR FELSEFİ
DÜŞÜNCE sistemi içine sığdırılamayacak kadar sonsuz bir zenginliğe sahip olduğu
görülür. K.Popper’in üç dünyasından üçüncüsüne tekabül eden matematiği gelin
birlikte inceliyelim.
Kaynaklar:
[1] Russel,B “Intro. to Matematical Philosophy”,London
[2] YILDIRIM,C. ” Matematiksel Düşünme”
[3] Hersh,”Intro. Imre Lakatos” Mathematical
Intelligencer,1 (1978),148
[4] Putnam,”Mathematics Without Foundations”,Jour. of
Phi. 64 (1967),5.
[5] J.van Heijenoart,”From Frege to Godel”
Ünal Ufuktepe
Sayı : 4 / Ekim 1995
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder